简介：这份运筹学期末练习试卷面向高校运筹学课程学习者与备考学生，用于系统检验建模与求解能力。试卷涵盖线性规划建模、整数规划建模、名词解释、网络分析与计算题等模块，具体涉及A、B产品生产计划建模、汽车厂三种车型的整数规划、织布机生产安排、定性与定量分析辨析、Pert图与CPM关键路径计算、决策树方法及表上作业法求解运输问题，并附有对偶问题与互补松弛性的综合题解答。资源包共1个doc文件，约1.09MB，内容完整、题型典型，适合作为期末复习与自测材料。已有571人学习下载，读者可借此熟悉运筹学常见题型的建模思路与解题技巧，对照答案查漏补缺，为应对考试和实际决策问题打下基础。

1. 运筹学到底在算什么：从一张期末练习卷说起

你有没有过这种经历：手里一堆资源，时间、人手、预算全都有上限，却要在几个方案里挑一个最划算的。小到周末怎么安排家务，大到工厂怎么排产，本质都是同一道题——在限制条件下，让某个目标尽可能好。运筹学就是专门研究这类问题的学科，它把“怎么选最划算”翻译成数学语言，再交给模型去算。这份运筹学期末练习试卷，恰好把这门课最核心的几类题型摆在一起：建模、名词解释、网络图、计算求解。搞懂它，你就搞懂了运筹学在现实里到底怎么用。

很多人第一次听到“运筹学”三个字，会觉得玄乎，像是某种高深算法。其实它更像一套“决策的记账本”：把每种选择消耗多少资源、带来多少收益，一笔一笔写清楚，然后让数学替你找出那本账最漂亮的那一页。试卷里的题目不要求你写代码，也不要求你跑软件，只要求你把现实问题“翻译”成变量、约束和目标函数。这个翻译过程，才是运筹学真正值钱的地方。

2. 线性规划：把“资源有限”写成不等式

2.1 一句话定义与生活类比

线性规划是运筹学里最基础、也最常用的一类模型。通俗地说，它处理的是这样一件事：你有一组决策变量（比如生产多少件产品），每个变量都消耗若干种资源，资源总量有上限，而你想让总利润最大或总成本最小。所有关系都是“线性”的——消耗按比例增加，利润也按比例增加，没有突然翻倍或打折的弯弯绕。

打个比方，你开一家小作坊，做两种点心。每种点心都要用面粉和工时，面粉就那么多，工时也就那么多，你想决定各做多少盒。线性规划就是帮你把“面粉够不够、工时够不够”写成一组不等式，再把“卖多少钱”写成一个求和式，然后找那个让求和式最大的组合。

试卷第一道建模题就是这个套路：A、B 两种产品都要经过前道和后道两道化学反应，前道总共 200 小时，后道总共 240 小时。每生产 1 个单位 B 还会顺带产出 2 个单位副产品 C，C 最多能卖 10 个单位，卖不掉的要花 1 元销毁。题目只要求建模，不要求求解，但建模本身已经把线性规划的核心骨架露出来了。

2.2 建模的三件套：变量、约束、目标

线性规划建模永远绕不开三样东西，试卷里的解法也是按这个顺序来的。

第一是决策变量。你要决定什么，就把什么设成变量。第一题设 A、B 的产量为 x1、x2，销毁的 C 为 x3。注意 x3 不是“生产量”，而是“销毁量”，这个区分很关键，因为销毁是要花钱的。

第二是约束条件。资源上限写成不等式：前道 2x1 + 3x2 ≤ 200，后道 3x1 + 4x2 ≤ 240。副产品 C 的产销平衡也要写成等式或不等式：B 产出 2x2 个 C，卖出去的最多 10 个，剩下的 x3 销毁，所以 2x2 = 销售量 + x3，且销售量 ≤ 10。这些式子把现实里的“够不够、卖不卖得掉”全部量化了。

第三是目标函数。利润 = 5x1 + 10x2 + 3×销售量 − 1×x3。把销售量用 2x2 − x3 替换掉，目标函数就只剩 x1、x2、x3 三个变量。到这里，一个完整的线性规划模型就立起来了。

提示：建模题不要求求解，但变量设错，后面全错。尤其是“销毁量”这种反向变量，初学者最容易漏。

2.3 第二道建模题：整数规划为什么多了一层

试卷第二题是汽车厂生产微型、中级、高级三种轿车，钢材和人工有总量上限，利润各不同。表面看还是线性规划，但多了一个条件：每种车要达到经济规模才能生产，微型车至少 1500 辆，中级车至少 1200 辆，高级车至少 1000 辆。产量不能是 1499.5 辆，必须是整数，而且要么不生产，要么至少达到门槛。

这就是整数规划。它和线性规划的关系，好比“可以切半块蛋糕”和“只能整块拿”的区别。线性规划允许变量取小数，整数规划要求变量取整数。多出来的这个整数约束，让求解难度上一个台阶，因为可行解不再是一个连续的区域，而是一堆离散的点。试卷只要求建模，所以解法里设了 x1、x2、x3 三个产量变量，再用 0-1 变量或者大 M 法来处理“要么为零、要么至少门槛”的逻辑。这部分不展开求解，但建模思路已经点明了整数规划的核心：在普通线性约束之外，再加一层“离散选择”的约束。

2.4 第三道建模题：自制还是外购的取舍

第三题更贴近真实生产：28 台织布机分 D 型和 R 型，要满足四种纺织品的需求，可以自己生产，也可以直接购买。自己生产有单位可变成本，购买有单位购买价，售价固定，所以每种产品“自己做”和“买来卖”的单位利润不一样。题目解法里直接给出了两组利润数：自己生产纺织品 1 到 4 的单位利润分别是 0.33、0.31、0.61、0.73，购买对应的单位利润是 0.19、0.16、0.5、0.54。

这道题的建模关键，是把“机器小时”作为资源约束，把“自制量 + 购买量 = 需求量”作为平衡约束，目标函数则是两组利润分别乘以自制量和购买量再求和。它和第一题的区别在于，决策变量分成了两类：生产决策和采购决策。现实里很多供应链问题都是这个结构——自己能做就做，做不过来就买，模型帮你算哪种组合最划算。

3. 对偶与敏感性：同一个问题的另一面

3.1 对偶问题不是“另一个问题”，是同一枚硬币的反面

试卷名词解释里提到“线性规划的对偶问题”，答案说“不唯一，可以给出一个具体线性规划和其标准型进行阐述”。这句话听起来绕，其实意思很简单：每一个线性规划问题，都对应着另一个线性规划问题，叫做它的对偶问题。原问题求利润最大，对偶问题就求资源的最小“影子价格”；原问题的约束是资源上限，对偶问题的变量就是这些资源的估价。

打个比方，你有一间铺面，原问题是“怎么安排经营让利润最大”，对偶问题就是“这间铺面如果租出去，最低该收多少租金才不亏”。两个问题的最优值是相等的，这就是对偶定理。试卷后面的综合题直接用了这个性质：已知原问题最优解，利用互补松弛性反推对偶问题最优解。互补松弛性说的是，如果某个资源在原问题里没用完，那它对偶变量的值就是零；如果对偶变量大于零，说明这个资源是紧俏的，一点都不能浪费。

3.2 影子价格：资源到底值多少钱

对偶变量在运筹学里有个更通俗的名字——影子价格。它不是市场上真实的价格，而是“多给你一单位这种资源，你的最优利润能增加多少”。试卷第一题里前道工序 200 小时、后道工序 240 小时，如果多给 1 小时前道时间，利润能涨多少，那个数就是前道时间的影子价格。

理解影子价格，你就理解了对偶问题为什么有用。企业做决策时，不光要知道“现在怎么安排最好”，还要知道“哪个资源最卡脖子、值不值得花钱去买”。影子价格高的资源，就是瓶颈资源，多投入它能换来更多利润；影子价格为零的资源，说明还有富余，再买也没用。这个信息比单纯一个最优产量方案更有战略价值。

3.3 互补松弛性：怎么从原问题推对偶解

试卷综合题给了一个线性规划，要求先写对偶问题，再求对偶最优解。解法里没有重新解一遍对偶问题，而是把原问题的最优解代入，利用互补松弛性直接推出对偶变量。具体逻辑是：原问题某个约束是严格不等式（资源没用完），对应的对偶变量必为零；原问题某个变量大于零，对应的对偶约束必取等号。这样一步步推下来，对偶最优解就出来了。

这个方法在考试里很实用，因为重新解一个对偶问题费时费力，而互补松弛性相当于给你一条捷径。但前提是你得先把原问题的最优解求对，否则后面全盘皆输。这也是运筹学里常见的“血泪经验”：对偶技巧再漂亮，原问题算错一个数，整道题就翻车。

4. 网络图与关键路径：项目进度的“黑匣子”

4.1 网络图是什么：把先后关系画出来

试卷第三部分是一道作图填空题，给了一张活动表：A 无紧前活动，5 天；B 无紧前活动，1 天；C 紧前是 B，2 天；D 紧前是 A 和 C，4 天；E 紧前是 A，6 天；F 紧前是 D 和 E，3 天。要求画网络图、找关键路线、算完工时间、算活动 B 和 E 的可推迟天数。

网络图就是把“谁必须在谁之前完成”画成一张有向图。节点代表事件，箭线代表活动，箭线的方向就是先后顺序。这张图的价值在于，它把项目里所有活动的依赖关系一次性摊开，让你一眼看出哪些活动串在一起、哪些可以并行。试卷里 A 和 B 可以同时开始，C 要等 B 做完，D 要等 A 和 C 都做完，E 只要等 A 做完，F 要等 D 和 E 都做完。画出来之后，整个项目的骨架就清楚了。

4.2 关键路线：决定工期的那个“最长链条”

关键路线是从起点到终点耗时最长的那条路径。试卷答案给的是 A-E-F，时间 5 + 6 + 3 = 14 天。为什么最长路径反而决定工期？因为项目里所有活动都得做完，最长的那条链卡在那里，其他短链早做完了也得等它。好比一群人约饭，最慢的那个人到了才能开席，关键路线就是那个最慢的人。

关键路线上的活动叫关键活动，它们的总时差为零，一天都不能拖。试卷填空题里问“活动 E 可以推迟几天而不延误工期”，答案就是 0，因为 E 在关键路线上。活动 B 可以推迟 4 天，因为 B 不在关键路线上，它后面接 C 和 D，D 又要等 A 和 C，B 稍微拖一拖不影响最终 14 天的工期。这个“可以推迟几天”就是活动的总时差，是网络分析里最实用的一个数。

4.3 总时差：项目管理的“后悔药”

总时差的计算逻辑是：一个活动最晚必须什么时候完成，减去它最早可能完成的时间，差值就是它能拖的最大天数。试卷里 B 的总时差是 4 天，意味着 B 哪怕拖到第 5 天完成（最早第 1 天完成，加 4 天），也不会让整个项目超过 14 天。

这个数在项目管理里就是“后悔药”。你知道哪些活动可以缓一缓，哪些活动一拖就出事。关键路线上的活动总时差为零，没有后悔药可吃；非关键活动有一定缓冲，资源紧张的时候可以先把人调去关键活动，让非关键活动稍微等一等。网络图的价值不在于画得好看，而在于它把“哪里能省、哪里不能省”算得明明白白。

5. 决策树与运输问题：不确定性和物流的两种解法

5.1 决策树：把“万一”画成树枝

试卷计算题第二题是一个典型的风险决策：新产品销路好的概率 0.7，获利 1200 万；销路差的概率 0.3，亏损 150 万。可以先建一个小型试验工厂试销，试销费用 5 万，试销结果会影响后续大批量投产时对销路的判断。题目要求用决策树方法决策。

决策树就是把每个决策点和每个自然状态画成树枝，从右往左算期望值。先算不试销直接投产的期望利润：0.7×1200 + 0.3×(−150) = 840 − 45 = 795 万。再算试销的情况：试销销路好的概率 0.8，这种情况下大批量投产销路好的概率变成 0.85；试销销路差的概率 0.2，这种情况下大批量投产销路好的概率只有 0.1。把每条分支的期望利润算出来，减去试销费用 5 万，再和 795 万比较，哪个大选哪个。

决策树的好处是把“不确定性”拆成一层一层的概率分支，让直觉上模糊的“要不要先试试”变成一个可以比较的数字。它不保证你选对，但保证你的选择逻辑是自洽的。

5.2 运输问题：表上作业法的适用场景

试卷计算题第三题是一个运输问题：三个产地 A1、A2、A3，四个销地 B1 到 B4，产量和销量都给定了，单位运价也给了，要求用表上作业法求解。运输问题的标准形式是：产地有供应量，销地有需求量，供需平衡，每一条运输路线有单位成本，目标是总运费最小。

表上作业法是手工求解运输问题的经典方法，步骤是先用最小元素法或西北角法找一个初始调运方案，再用位势法或闭回路法检验是否最优，不是最优就调整。试卷只给了题目和表格，没有展开求解过程，但这类题在运筹学期末卷里几乎必考，因为它把线性规划的特殊结构（供需平衡的等式约束）和手工算法结合得很紧。

运输问题和前面线性规划的区别在于，它的约束矩阵有特殊的“网络结构”，每个变量只出现在一行和一列里。这个结构让它可以不用单纯形法，而用更直观的表上作业法。现实里的物流调度、库存调拨，底层都是这个模型。

6. 什么时候该用运筹学，什么时候别硬套

运筹学不是万能钥匙。它最擅长的是那些“目标明确、资源可量化、关系近似线性”的问题。比如试卷第一题那种两种产品、两道工序的排产，变量少、约束清楚，建个线性规划模型几分钟就能把账算明白。第三题的自制外购决策也一样，利润数都给好了，模型只是帮你做组合优化。这类场景用运筹学，属于对症下药。

但有些情况硬套模型就会翻车。第一种是目标本身说不清。如果决策者自己都不知道要利润最大还是风险最小，或者多个目标互相打架又没法量化权重，那模型建出来也是空中楼阁。第二种是关系严重非线性。试卷里的题目全是线性关系，消耗按比例走，利润也按比例走。现实里很多问题有规模效应、有阈值突变，线性假设一崩，模型结论就不可信。第三种是数据质量太差。线性规划的对偶价格再漂亮，前提是那些成本系数、资源上限是准的。如果基础数据靠拍脑袋，模型算得再精也是垃圾进垃圾出。

我自己的习惯是，每次想上模型之前，先拿一张纸把三件事写清楚：我要决定的变量到底是什么，哪些约束是硬得不能再硬的，目标函数能不能用一个数衡量。这三件事写不顺，说明问题还没想清楚，这时候建模型只是把混乱数学化。反过来，这三件事能写顺，哪怕不用任何软件，手工列个式子也能把方向定个八九不离十。从那以后我每次遇到“资源有限怎么分配”的问题，都强制先走一遍这个三件套，再决定要不要动真格的模型。希望这个思路帮到你。

这份练习试卷的价值，不在于它有多少道题，而在于它把运筹学最常用的几类建模场景压缩在几页纸里：线性规划的资源分配、整数规划的门槛约束、对偶问题的影子价格、网络图的关键路线、决策树的风险分支、运输问题的表上作业。每一类都对应现实里的一类决策。想要把这几类题型从头到尾过一遍，这份资料里的题目和解答过程就是现成的参照。

本文还有配套的精品资源，点击获取