数制转换

二进制和十进制互相转换

原码反码补码

逻辑符号

编码

IEEE754浮点数

IEEE754是计算机表示浮点数的标准，核心思想是想把一个数拆出符号位、指数位、尾数位三部分存储。最常用的是32位单精度(float)和64位双精度(double)。

• 单精度(32位)：1符号位+8位指数+23位尾数，指数偏移量为127.
• 双精度(64位)：1符号位+11位指数+52位尾数，指数偏移量为1023.

举例说明

以单精度浮点数表示176.0625为例：

1. 转换为二进制：10110000.0001
2. 规格化：1.01100000001×2^7
3. 符号位：0（正数）
4. 指数编码：7 + 127 = 134 → 二进制10000110
5. 尾数(隐藏前导1后)：01100000001000000000000
   最终存储为：0 10000110 01100000001000000000000
   大致理解：阶码指数表示数的大小，全是1接近最大，全是0接近最小；尾数表示具体的值

关键规则

1. 规约数(Normalized)：尾数前隐藏一个默认的1.，实际公式为：(-1)^S × 1.M × 2^(E-偏移量)。例：二进制1.0101，只存小数点后面0101，开头的1不占用存储空间，节省一位。
2. 非规约数(Subnormal)：指数位全0且尾数非0时，用于表示接近0的极小数值，此时尾数前不再隐藏1.，计算公式位：(-1)^S × 0.M × 2^(1-偏移量)。
3. 特殊值：
   指数全0、尾数全0 → ±0；指数全1、尾数全0→±∞；指数全1、尾数非0→NaN(非数值).
4. 有效数字不是小数点后的位数，是全部有效数字。float：23位尾数，换算十进制大约6~7位有效数字；double：52位尾数，大约15-16位有效数字。

数值变大之后，float尾部小数丢失精度。

注意：指数全0和全1都有特殊含义，不能当作普通指数使用；实际可用的指数范围单精度位-126到+127，双精度位-1022到+1023.

有效位数

二进制每增加1bit，能区分2倍大小；十进制每增加1位，能区分10倍大小。log₁₀2 ≈ 0.3010含义：1个二进制bit≈0.301位十进制有效数字。

• float：24bit × 0.301 ≈ 7.2位；
• double：53bit × 0.301 ≈ 16位。

阶码偏移(移码)

IEEE-754的阶码不直接存真实指数，要加上一个偏移量。

• float(32位)：偏移量 = 127
• double(64位)：偏移量 = 1023

特殊规则：阶码两种边界情况

1. 阶码全部比特为1
   1. 尾数全0：无穷大(inf)
   2. 尾数非0：非数字(NaN，无效计算结果，比如0除以0)
2. 阶码全部比特为0
   1. 代表非规格化数，用来表示接近0的极小数字；此时不再隐藏开头的1.

正常使用的普通浮点数，阶码既不全0，也不全1.