论文分享|具有稳定性保证的固定翼无人机深失速与栖停着陆轨迹跟踪 NMPC

当固定翼无人机以大迎角进入深失速，并进一步以较低空速栖停在近地回收网上时，怎样规划可执行的着陆轨迹，同时保证轨迹跟踪过程中的状态约束、输入约束与闭环稳定性？

本期分享的论文《Nonlinear model predictive control trajectory tracking for a fixed-wing UAV in a deep-stall and perching landing maneuver with guaranteed stability》针对这一问题，先通过两个连续的最优控制问题生成深失速与栖停着陆参考轨迹，再构建包含时变终端代价和时变终端集合的NMPC跟踪方案，并给出稳定性证明。论文还通过多组初始条件下的仿真，考察轨迹生成、跟踪误差以及翼载荷与稳态飞行状态之间的关系。

01技术难点

论文研究的核心并不只是生成一条能够到达回收网的轨迹，还需要使轨迹满足飞行器约束，并让后续跟踪控制具有可证明的稳定性。

深失速与栖停带来的气动和姿态变化

当迎角超过临界迎角时，机翼周围的气流发生分离，升力会突然下降，阻力则增大，飞行器的可控性随之降低。深失速状态下，较大的迎角会带来明显的高度损失和有限的控制能力；栖停机动则进一步利用大迎角和较大阻力，使无人机以足够低的空速接近回收网。论文指出，栖停迎角可能超过 90°。因此，轨迹模型需要覆盖失速前后的气动变化，而不能只描述常规飞行状态。

轨迹可行性与状态、输入约束必须共同考虑

着陆轨迹需要同时满足位置、空速、迎角、俯仰角和俯仰角速度等状态约束，以及升降舵偏角和油门输入约束。若约束只在轨迹生成阶段得到满足，而没有被跟踪控制器直接考虑，当实际初始状态偏离参考状态时，跟踪过程可能无法维持可行。论文采用NMPC，是因为该框架可以将状态约束和输入约束纳入滚动优化问题。

有限预测时域并不自动意味着闭环稳定

NMPC 每次求解有限预测时域内的优化问题，再将最优控制序列的第一段施加到系统并重新优化。要进一步保证递归可行性和渐近稳定性，还需要专门设计终端代价、终端集合及集合内的局部控制律。本文的着陆终点是回收网，而无人机在触网时并不处于通常意义上的稳态平飞，因此作者还需要为稳定性分析构造一个合理的终端阶段。

将“触网结束”与“稳定性证明所需的终端状态”区分开

为满足稳定性分析的终端条件，作者将参考轨迹分为着陆段和恢复段：前者完成深失速与栖停，后者描述无人机越过回收网后恢复到定高平飞的虚拟轨迹。实际跟踪在触网时结束；虚拟恢复段用于使参考轨迹趋于稳态，并支持预测时域的递归可行性分析。

02方案设计

作者将轨迹优化与轨迹跟踪作为相互衔接的两个问题处理：先生成满足机动约束的参考轨迹，再围绕该轨迹构造具有稳定性保证的 NMPC。

采用混合轴纵向动力学描述失速前后运动

论文使用无风条件下的混合轴纵向动力学模型，显式包含空速和迎角这两个分析深失速与栖停机动所需的关键状态。模型状态包括惯性坐标系中的位置 x、z，空速 Va、迎角 α、俯仰角 θ 和俯仰角速度 ωy；控制输入为升降舵偏角 δe 与螺旋桨油门PWM（脉冲宽度调制）输入 δt。

气动力模型在失速前采用常见的升力线性函数和阻力二次函数；失速后采用平板气动模型，并通过 sigmoid 函数在两个气动区域之间平滑过渡。推进力由螺旋桨参数、电机常数、油门输入和空速共同决定。作者明确说明，本文研究的是名义稳定性问题，因此模型中忽略风和阵风等外部扰动。

用两个连续的最优控制问题生成参考轨迹

轨迹生成分为两个时间阶段。第一阶段从定高平飞开始，在区间 [t0, tf] 内执行深失速与栖停着陆；第二阶段在 [tf, ts] 内描述从失速后状态恢复到定高平飞。论文仿真中，t0 = 0 s、tf = 24 s、ts = 28 s；着陆段起始空速设为 25 m/s，恢复段末端的定高平飞空速设为 16 m/s。回收网的垂直位置约束为 znet ∈ [−4.7, −1.7] m。

两个阶段分别求解带输入和状态约束的最优控制问题，再将结果拼接成参考状态轨迹与参考控制输入。两阶段使用相同的运行代价，惩罚油门 PWM 输入和控制输入变化量，以降低推进输入并避免控制变化过大。

轨迹生成阶段的控制输入约束为 −40° ≤ δe ≤ 40°、0.1 ≤ δt ≤ 0.9。着陆阶段的末端状态要求无人机位于回收网附近，并满足低空速和大迎角等条件；恢复阶段则要求轨迹最终到达定高平飞状态。对不同的初始位置，作者分别生成对应的参考轨迹。

为什么要在触网之后保留一段虚拟恢复轨迹？

该恢复段不是为了延长实际着陆动作，而是为了满足稳定 NMPC 的设计条件。作者指出，若只在回收网处截断参考轨迹，终端状态并非稳态；在参考轨迹末端增加虚拟定高平飞段后，既可使系统在时间趋于无穷时对应一个稳态，也能延长预测时域，从而保证首次 NMPC 迭代存在可行解。

围绕参考轨迹构造滚动时域 NMPC

得到参考轨迹后，论文定义状态误差为实际状态与参考状态之差，输入误差为实际输入与参考输入之差，并在参考轨迹附近对非线性动力学进行一阶泰勒展开，得到时变误差动力学。每个时刻，控制器根据当前误差状态求解一个有限预测时域内的开环最优控制问题；随后只施加最优控制序列在一个采样间隔内的第一段，再更新状态并重新求解。

NMPC 的阶段代价采用状态误差与输入误差的加权二次型；终端代价则由终端误差和时变正定权重矩阵构成。终端误差必须进入一个随参考轨迹变化的椭球集合。该集合由时变矩阵 Pt 和尺度参数 Υt 定义，作者据此将稳定性条件与状态、输入约束结合起来。

具体设计中，作者先通过 LMI（线性矩阵不等式）求解时变终端权重矩阵 Pt 和局部反馈增益 Kt，再计算满足状态与输入约束的终端椭球范围。之后进一步缩小椭球尺度，使非线性误差动力学中的余项满足所需上界。终端集合内的局部控制律用于保证集合的前向不变性。

稳定性结论的适用条件

论文给出的定理证明了：在所列假设成立时，NMPC 跟踪方案具有递归可行性，闭环跟踪误差渐近稳定。该分析基于论文采用的名义动力学模型，模型中忽略风和阵风等外部扰动；因此，文中的稳定性证明不应直接理解为已经保证了对实际模型失配和外部扰动的鲁棒性。论文并未通过真实飞行试验验证该着陆方案。

数值求解与仿真设置

论文采用 Aerosonde 固定翼无人机参数。轨迹优化以 Direct Multiple Shooting 方法离散，并通过 CasADi 与 IPOPT（内点优化求解器）求解；时变矩阵相关的 LMI 使用 MATLAB R2023a、YALMIP 和 MOSEK 处理。动力学使用四阶 Runge–Kutta 方法离散，采样步长为 0.1 s。

轨迹生成在包含 121 个初始位置的区域内求解。跟踪仿真选取起始位置为 x = −280 m、−z = 200 m 的参考轨迹，并在 100 组不同初始误差条件下重复进行。跟踪任务中，升降舵偏角约束为 −60° 至 60°，油门 PWM 输入约束为 0 至 1。作者逐步增加预测时域，直至首次 NMPC 迭代获得可行解。

仿真计算机配备 AMD Ryzen 5 2600 处理器、16 GB 内存并运行 Windows 10。论文报告的平均单次 NMPC 迭代求解时间为 1.1105 s；该数值是仿真环境中的优化耗时，不代表已在机载硬件上实现实时控制。

03实验验证

论文通过轨迹生成结果、100 组初始条件下的 NMPC 跟踪仿真，以及翼载荷参数分析，检验所提出方法在给定模型和约束下的表现。

轨迹生成：121 个初始位置中有 116 个获得可行解

作者在 [−290, −270] m × [190, 210] m 的初始位置区域内设置 121 个初始位置，其中 5 个位置未能得到可行解，且集中在区域左上角。其余可行轨迹均满足轨迹生成阶段的状态与输入约束。轨迹在回收网前完成深失速与栖停，随后沿虚拟恢复段进入定高平飞；所有生成轨迹最终在 x 约为 59.5 m 处达到恢复段的定高平飞约束。

作者还检查了空速、迎角、俯仰角、俯仰角速度、升降舵偏角和油门 PWM 等变量的轨迹集合，并报告这些状态与输入均满足所设约束。生成轨迹中存在状态和输入保持恒定的稳定深失速阶段。

100 组初始误差条件下的 NMPC 跟踪

为检验跟踪方案的稳定性，作者对同一条参考轨迹进行了 100 次跟踪仿真，并为初始误差状态的各分量设置不同范围。仿真记录了预测时域、状态与控制输入的变化，以及跟踪误差随位置变化的过程。不同初始误差下的轨迹总体上沿着参考轨迹推进，并在接近参考状态后保持相应的飞行状态。

论文采用逐步增加预测时域的方法：从两步预测（0.2 s）开始，直到首次 NMPC 迭代能够得到可行解。由于方案设计包含递归可行性条件，后续迭代在该条件成立时也能得到满足状态与输入约束的解。

100 组场景的平均单次迭代求解时间为 1.1105 s。该仿真结果展示了终端设计和预测时域选择对在线优化的计算要求；论文将更高效的计算实现列为后续工作之一。

跟踪误差与收敛时间

作者进一步计算 100 组跟踪仿真的绝对误差、1% 稳定时间和 RMS（均方根误差）。论文报告，当无人机的 x 坐标超过 -238.9233 m 后，所有场景的绝对误差均降至 0.01 或以下；100 组场景的平均 1% 稳定时间为 2.5030 s，平均 RMS 误差为 0.1548。以下曲线分别给出这些指标在不同仿真场景中的分布。

翼载荷与定高平飞空速的关系

论文将翼载荷定义为无人机质量与机翼面积之比，并在保持展弦比不变的条件下改变机翼尺寸，以分析翼载荷、升降舵偏角和定高平飞空速之间的关系。优化结果显示，在相同的升降舵偏角下界条件下，翼载荷越小，得到的稳态平飞空速越低；在相同翼载荷下，允许更大的负升降舵偏角时，也可以得到更低的平飞空速，但相应迎角、俯仰角及油门 PWM 会发生变化。

不同翼载荷下的代表性稳态平飞空速

稳态深失速中的空速、翼载荷与飞行航迹角

在稳态深失速分析中，作者继续求解最小空速问题，并改变翼载荷、升降舵偏角下界和目标飞行航迹角。结果显示，在相同翼载荷下，深失速航迹越陡（飞行航迹角越小），稳态空速越大；翼载荷越小，稳态深失速空速越低。论文还报告，在飞行航迹角为 −50°、升降舵偏角下界约为 −40° 时，翼载荷为 6.14 kg/m² 和 12.27 kg/m² 的情况无法得到可行解。

非线性余项上界对跟踪性能的影响

论文将非线性误差动力学余项的上界参数 ε 分别设为 0.01、1 和 10，并在相同的 100 组初始条件下比较结果。ε 从 0.01 增加到 1 时，均方根误差的差异并不显著，预测时域和平均计算时间则下降，但 1% 稳定时间增加。当 ε = 10 时，平均 1% 稳定时间最短；不过有 4 个场景的单次 NMPC 迭代平均计算时间超过 3.5 s。作者据此展示了终端集合约束、收敛时间和计算耗时之间的取舍。

结论

本文围绕固定翼无人机的深失速与栖停着陆，构建了“最优轨迹生成—NMPC 轨迹跟踪”的两阶段方法。作者通过将着陆段与虚拟稳定恢复段拼接，获得满足机动约束并适用于稳定性分析的参考轨迹；随后设计时变终端代价、时变终端椭球集合和集合内局部控制律，并在给定假设下证明 NMPC 跟踪方案的递归可行性与渐近稳定性。

在仿真中，121 个初始位置有 116 个获得可行轨迹；100 组初始误差条件下的跟踪结果给出了平均求解时间、稳定时间和 RMS 误差等量化指标。参数分析进一步表明，稳态空速与翼载荷、升降舵偏角及飞行航迹角有关，深失速与栖停触网时的末端空速也受到翼载荷影响。

论文将真实飞行实现、对有界扰动的鲁棒性分析、提高在线计算效率，以及在不同机体参数和机翼构型的固定翼无人机上验证该方法列为后续研究方向。本文的稳定性证明依赖于名义模型与无外部扰动等假设，相关真实飞行验证仍属于后续工作。

从算法案例到固定翼科研实践

这篇论文将两段最优控制轨迹生成与带时变终端的 NMPC 跟踪用于固定翼无人机深失速栖停着陆，在名义模型下证明递归可行性与渐近稳定性，并通过 100 组仿真分析跟踪误差、求解时间及翼载荷影响；实飞验证、鲁棒性与计算效率等仍为后续工作。

如果你也希望开展固定翼无人机后失速机动、NMPC 轨迹跟踪、约束控制与鲁棒性验证等研究，那么除了算法设计与软件仿真，还需要一个能够支撑算法机载部署与真实飞行测试的平台。SwiftWing S7 ROS垂起固定翼科研平台基于 ROS+PX4 开源架构，可为固定翼算法研究提供从开发部署到实飞验证的全流程支持，尤其适合将仿真中的轨迹优化、NMPC 跟踪与约束控制算法进一步推进到机载运行和真实飞行测试。下面呈现的是基于该平台完成的算法部署与实飞验证案例，感兴趣的朋友欢迎进一步了解。

固定翼编队项目与部署支持

迅翼服务于高校、科研院所及项目团队，可提供固定翼单机与多机编队仿真、协同任务仿真、智能决策（如强化学习）算法集成，以及轨迹优化、NMPC 跟踪、约束控制等控制算法的接口适配与验证支持；同时可提供 ROS/PX4 接口适配、半实物验证与真机部署等技术支持，并能结合具体研究需求，提供定制化集群项目服务。项目执行期间，可一并提供系统架构与接口说明、部署文档、仿真配置、参数说明及试验记录等资料，并依照项目约定进行远程答疑、环境部署、联调排障及阶段性售后技术支持。若已有算法（如协同决策、目标分配、编队控制，或轨迹优化、NMPC 跟踪、约束控制模型），也可借助 SwiftWing 仿真平台与 S7 固定翼科研平台，开展接口适配、参数整定和实际飞行验证，助力算法由仿真迈向实机应用。

END

后续我们将持续更新固定翼集群协同决策、强化学习（DQN）算法部署、多机目标分配与编队控制等相关技术文章，同时也会兼顾单机轨迹优化、NMPC 轨迹跟踪、深失速/栖停着陆、约束控制与安全避障等方向，分享更多仿真案例与实机应用内容。欢迎更多固定翼爱好者及科研开发者交流讨论。

参考文献

[1] NGUYEN H T, PRODAN I, FONTES F A C C. Nonlinear model predictive control trajectory tracking for a fixed-wing UAV in a deep-stall and perching landing maneuver with guaranteed stability[J]. European Journal of Control, 2026, 88: 101442. DOI: 10.1016/j.ejcon.2025.101442.