1 引言
在集成光学中，把一束光按比例分成两路、或把两路光合为一路，是最基本也最频繁出现的操作。承担这一功能的核心器件之一，就是定向耦合器（Directional Coupler, DC）。当两条光波导平行靠近一段距离，光就会在两者之间周期性地来回转移。
本文分两部分展开：前半部分梳理工作机理，后半部分分别给出硅基与薄膜铌酸锂（LN）两个平台的复现过程与结果对比。
2 器件结构与工作机理
2.1 结构
定向耦合器由两条平行波导与中间的耦合区 (coupling region)构成，两波导的边缘间距记为g gg（gap），耦合区长度为L LL。耦合区之外，波导以 S 形弯曲迅速拉开，以抑制不需要的耦合。
图1 定向耦合光波导（图 2-4）：两条波导在耦合区保持间距 g，区外以弯曲波导分离；下图为沿横向的折射率阶跃分布 n1 / n0 / n2
2.2 双本征模图像
耦合区内的电磁场并不属于"波导 1 的模式"或"波导 2 的模式"，而是整个双波导体系的超模（supermodes）。由于结构关于中轴具有镜像对称性，本征模可按对称性分为两类：
- 对称模（symmetric mode）：E y E_yEy在两根波导中同相，横向场分布呈"同号双瓣"；
- 反对称模（antisymmetric mode）：E y E_yEy在两根波导中反相，横向场分布呈"异号双瓣"。
图2 定向耦合器的两个基模（图 4.2）：实部 Ey（上排）与电场强度 |E|²（下排）。
两个本征模的传播常数分别为
β 1 = 2 π n 1 λ , β 2 = 2 π n 2 λ \beta_1=\frac{2\pi n_1}{\lambda},\qquad \beta_2=\frac{2\pi n_2}{\lambda}β1=λ2πn1,β2=λ2πn2
其中n 1 n_1n1、n 2 n_2n2为两本征模的有效折射率。
当模式传输时， 场强在两个波导之间振荡， 如下图所示。 两个模以各自的相速度传播，相位差随距离累积；两个模式同相位时， 光功率集中在第一根波导中；当相位差达到π \piπ时，原本集中在波导 1 中的功率便完整地转移到波导 2 中。
图3 场沿定向耦合器传输（图 4.3）：功率在两波导间的周期性转移
2.3 耦合长度
令相位差恰为π \piπ的长度即为耦合长度L π L_\piLπ：
β 1 L π − β 2 L π = π \beta_1 L_\pi-\beta_2 L_\pi=\piβ1Lπ−β2Lπ=π
代入传播常数表达式，即得超模理论下的耦合长度计算式：
L π [ 2 π n 1 λ − 2 π n 2 λ ] = π ⟹ L π = λ 2 Δ n L_\pi\left[\frac{2\pi n_1}{\lambda}-\frac{2\pi n_2}{\lambda}\right]=\pi \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\,L_\pi=\frac{\lambda}{2\Delta n}\,}Lπ[λ2πn1−λ2πn2]=π⟹Lπ=2Δnλ
其中Δ n = n 1 − n 2 \Delta n = n_1-n_2Δn=n1−n2为两超模的有效折射率差。这一表达式给出了明确的设计直觉：超模折射率差越小，耦合长度越长，即耦合越弱。
3 耦合系数的定量表达
场耦合系数κ \kappaκ定义为通过定向耦合器耦合的功率与输入端口功率比的开方：
κ = [ P Coupled P 0 ] 1 / 2 = ∣ sin ( π Δ n λ ⋅ L ) ∣ = ∣ sin ( π 2 ⋅ L L π ) ∣ \kappa=\left[\frac{P_{\text{Coupled}}}{P_0}\right]^{1/2} =\left|\sin\left(\frac{\pi\Delta n}{\lambda}\cdot L\right)\right| =\left|\sin\left(\frac{\pi}{2}\cdot\frac{L}{L_\pi}\right)\right|κ=[P0PCoupled]1/2=sin(λπΔn⋅L)=sin(2π⋅LπL)
可见耦合功率随耦合区长度呈sin 2 \sin^2sin2型周期振荡：L = L π L=L_\piL=Lπ时功率完全转移，L = 2 L π L=2L_\piL=2Lπ时又完全返回原波导。
图4 场耦合系数随耦合区长度的变化（图 4.6）：耦合系数 κ² 与直通系数 t² 呈互补振荡
4 复现（一）：硅基定向耦合器
参考文献：卢卡斯·赫罗斯托夫斯基 and 迈克尔·霍克伯格., [硅光子设计–从器件到系统(精)/光学与光子学丛书], 中国科技出版传媒股份有限公司 (2021).
4.1 算例参数
以《硅光子设计》提供的硅波导算例作为第一组复现对象，其结构参数与文献值明确、便于校准仿真流程。
| 参数 | 取值 |
|---|---|
| 波导 | 500 nm × 220 nm（90 nm 厚平板） |
| 耦合间距g gg | 200 nm |
| 工作波长λ \lambdaλ | 1550 nm |
| 耦合长度L π L_\piLπ（文献） | 15.1 μm |
4.2 耦合长度与间距的关系
耦合间距g gg通过改变两波导中模场的重叠积分影响耦合强度。用波导模式求解器扫描g gg（100–1000 nm），得到交叉耦合长度L cross L_{\text{cross}}Lcross随g gg的变化：
图5 文献结果（图 4.4）：耦合长度 Lx 随耦合间距的变化，左为线性尺度、右为对数尺度
图6 【复现】Cross-over length 随 gap 的变化（线性尺度）
图7 【复现】Cross-over length 随 gap 的变化（对数尺度）
在g gg较小时（< 400 nm <400\ \text{nm}<400nm）耦合强、L cross L_{\text{cross}}Lcross较小；随着g gg增大，L cross L_{\text{cross}}Lcross迅速抬升并在对数坐标下呈现良好线性——即耦合长度随间距近似指数增长。复现曲线与文献趋势一致。
4.3 耦合系数随耦合区长度的变化
采用同一方法计算耦合系数随耦合区长度的变化，与文献（g = 200 nm g=200\ \text{nm}g=200nm，L π = 15.1 μ m L_\pi=15.1\ \mu mLπ=15.1μm）对照：
图4 场耦合系数随耦合区长度的变化（图 4.6）
图8 【复现】 κ² 与 t² 随耦合区长度的变化
两组数据在L π = 15.1 μ m L_\pi=15.1\ \mu mLπ=15.1μm处完全吻合，两条曲线互补振荡且极值达到 0 和 1，说明仿真结果可靠。
5 复现（二）：薄膜铌酸锂定向耦合器
参考文献：喻盼盼. 基于薄膜铌酸锂的全绝热偏振旋转合束器的研究. 硕士学位论文, 2025.
5.1 器件参数
| 参数 | 取值 |
|---|---|
| 芯层厚度 | 300 nm |
| 波导宽度 | w 1 = 1.6 μ m w_1 = 1.6\ \mu mw1=1.6μm，w 2 w_2w2依次取 1.6 / 1.65 / 1.7 μm |
| 耦合间距g gg | 0.5 μm |
| 工作波长λ \lambdaλ | 1550 nm |
| 背景折射率 | 2.2111 |
仿真流程：先用有限差分本征模算法（Finite Difference Eigenmode, FDE）求单波导模式分布与有效折射率，再用本征模扩展法（EME）扫描耦合区长度，提取各端口的归一化功率。
图9 EME 仿真建模：端口 1、2 为输入，端口 3、4 为输出；紫色区域为波导，竖直线为端口
5.2 理想耦合与非理想耦合
最大功率系数F FF：
F = ( k q ) 2 = 1 1 + ( Δ β κ ) 2 F = (\frac{k}{q})^2 = \frac{1}{1+(\frac{\Delta \beta}{\kappa})^2}F=(qk)2=1+(κΔβ)21
传播常数差Δ β \Delta \betaΔβ，耦合系数κ \kappaκ。
当Δ β = 0 \Delta \beta = 0Δβ=0时（“理想耦合”），两波导模式传播常数相等，满足相位匹配条件。耦合效率F = 1 F=1F=1，此时波导 1 中的光功率可以100% 耦合进入波导 2 中，耦合系数κ \kappaκ仅影响耦合长度。
Δ β ≠ 0 \Delta \beta ≠ 0Δβ=0时（“非理想耦合”），此时为相位失配，在这种情况下，无论耦合系数κ \kappaκ多大，耦合效率F FF也不可能到 1。
图10 功率传输曲线（图 2-5）：(a) 理想耦合——P₁、P₂ 为完整互补的 sin² 振荡；(b) 非理想耦合——振荡幅度被压缩，出现"不完全耦合"
5.3 单波导模式求解
对 LN 条形波导（厚度 300 nm）做 FDE 求解，三种宽度下 TE₀ 基模的有效折射率如下：
| 波导宽度w ww | n eff n_{\text{eff}}neff（仿真） | n eff n_{\text{eff}}neff（文献） |
|---|---|---|
| 1.60 μm | 1.7303 | 1.7307 |
| 1.65 μm | 1.7329 | 1.7333 |
| 1.70 μm | 1.7353 | 1.7357 |
图11 【复现】FDE 求解结果，w = 1.6 μm：TE0 基模 n_eff = 1.730299，TE 偏振占比（Ey）为 100，模场为良好的单模分布
图12 【复现】FDE 求解结果，w = 1.7 μm：n_eff = 1.735250，模场仍保持单模
三组结果与文献值的最大偏差约4 × 10 − 4 4\times10^{-4}4×10−4（相对偏差约万分之二），说明所建立的模型与材料参数具有良好的一致性。
5.4 三组器件的功率传输曲线
固定w 1 = 1.6 μ m w_1=1.6\ \mu mw1=1.6μm、g = 0.5 μ m g=0.5\ \mu mg=0.5μm，仅改变w 2 w_2w2，得到三组归一化功率随耦合区长度的变化（横轴 0–1500 μm）：
图13 【复现】理想耦合（w₁ = w₂ = 1.6 μm）：端口 3、4 的功率完美互补振荡，极值分别触达到 1 和 0，周期约 600 μm，对应 Lπ ≈ 300 μm
图14 【复现】非理想耦合（w₁ = 1.6 μm，w₂ = 1.65 μm）：振荡周期缩短至约 450 μm（Lπ ≈ 225 μm），耦合端口峰值降至 0.45 左右
图15 【复现】非理想耦合（w₁ = 1.6 μm，w₂ = 1.7 μm）：周期进一步缩短至约 300 μm（Lπ ≈ 150 μm），耦合端口峰值仅约 0.17
三组曲线呈现出两条清晰的规律：失配越大，耦合长度越短，且耦合越不彻底。前者说明失配实际上增强了超模间的折射率差，后者则说明输入功率在两个超模上的分配比例失衡，无法在π \piπ相位差处完全相消。
参考资料
- 卢卡斯·赫罗斯托夫斯基, 迈克尔·霍克伯格. 硅光子设计——从器件到系统. 中国科技出版传媒股份有限公司, 2021.
- 喻盼盼. 基于薄膜铌酸锂的全绝热偏振旋转合束器的研究. 硕士学位论文, 2025.
- 本文仿真工具：Lumerical FDE / EME（Mode Solutions、FDTD Solutions）。
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