一、定义

如果规划模型的目标函数是决策向量的二次函数，约束条件都是线性的，那么这个模型称为二次规划（QP）模型。二次规划模型的一般形式为

二、性质

凸性判定准则

二次规划问题的凸性完全由Hessian矩阵H决定：

​​严格凸QP​​：H正定（所有特征值>0），有唯一全局最优解

​​凸QP​​：H半正定（所有特征值≥0），可能有多个最优解

​​非凸QP​​：H不定，存在多个局部最优解

判定条件

二次规划的最优解必须满足​​KKT条件​​：

原始可行性​​：x满足所有约束条件

对偶可行性​​：拉格朗日乘子非负

互补松弛条件​​：乘子与约束的乘积为零

平稳性条件​​：∇f(x) + Aᵀλ = 0

三、内点法求解

代码

clear
clc%生成数据
%资产数量
nAssets = 5;             
%生成收益率数据
returns = randn(100, nAssets);
%预期收益率
mu = mean(returns)';    
%协方差矩阵
Sigma = cov(returns);        
%目标收益率
targetReturn = 0.05;                    %构建QP参数
H = Sigma;                
%无线性项
f = zeros(nAssets, 1);        
%预算约束和收益约束、约束右端项
Aeq = [ones(1, nAssets); mu'];         
beq = [1; targetReturn];          
lb = zeros(nAssets, 1);       %求解
[w, risk] = quadprog(H, f, [], [], Aeq, beq, lb);%绘图
%创建图形窗口
figure('Position', [100, 100, 800, 600]);%资产配置比例
h_bar = bar(w, 'FaceColor', 'flat'); % 使用彩色条形图%添加数值标签
for i = 1:length(w)text(i, w(i)+0.01, sprintf('%.2f%%', w(i)*100), ...'HorizontalAlignment', 'center', ...'FontSize', 10);
end
title('最优资产配置比例', 'FontSize', 12, 'FontWeight', 'bold');
xlabel('资产编号', 'FontSize', 10);
ylabel('配置比例', 'FontSize', 10);
grid on;
set(gca, 'XTick', 1:nAssets, 'XTickLabel', compose('资产%d',1:nAssets));
ylim([0, max(w)*1.2]);

运行结果