简介：这份东南大学惯性导航期末复习资料面向备考该课程的本科生与需要梳理知识框架的读者，围绕课堂重点整理成便于查阅的问答式复习文档。内容覆盖坐标变换矩阵、地球模型、惯性器件与陀螺仪、舒勒摆与舒勒回路、哥氏定理、比力方程、惯导基本方程、方向余弦阵，以及指北方位与游移方位惯导、四元数、捷联惯导和初始对准等专题，并配有25个典型问题帮助定位考点与查漏补缺。压缩包内共1个docx文件，约18.25MB，适合打印或按专题标注复习。当前已有955人学习，可用于期末冲刺时快速回顾概念、公式推导思路与系统分类。

1. 惯性导航里最反直觉的一件事：精度不是“测”出来的，是“调”出来的

第一次翻惯性导航的复习资料，多数人会把注意力全押在陀螺和加速度计上——器件越准，导航越准，天经地义。可把坐标变换矩阵、比力方程、舒勒回路这几块拼起来之后，结论恰好相反：一台惯导能连续跑几小时而不发散，靠的不是器件有多神，而是回路被调到了一个特定频率上。器件决定误差的底噪，回路决定误差长不长个儿。这也是那几个推导——方向余弦阵微分方程、比力方程、舒勒调谐条件——反复出现的原因：它们不是数学练习，是整套系统的设计契约。某高校那份复习资料把内容拆成 25 个问题，从坐标变换一直问到捷联精对准，看着零散，主线其实就这一条：误差是怎么被设计出来的，又是怎么被摁住的。

2. 从方向余弦阵到比力方程：惯导方程的骨架是怎么搭起来的

惯导解算说到底就回答三件事：我在哪、我朝哪、我怎么动。位置、姿态、速度三者由一组微分方程耦合在一起，而所有方程的地基是坐标变换。先把“两根坐标系怎么对齐”讲清楚，后面比力方程、惯导基本方程才有落脚点。

2.1 方向余弦阵：姿态为什么非得用 3×3 正交阵

两个三维坐标系之间的关系，写成矩阵就是 9 个元素，每个元素是两个坐标轴夹角的余弦，所以叫方向余弦阵。但刚体姿态只有 3 个自由度，9 个元素里必然有 6 个约束，表现到矩阵上就是正交性和行列式为 1：$C^T C = I$，$\det C = 1$。这两个性质不是数学装饰，是后面所有反解、转置代替求逆的前提。

求取方法在复习资料里通常列三类。第一类是欧拉角连乘，把姿态拆成三次基本旋转，按 Z-Y-X 顺序依次右乘；第二类是四元数，用四个参数描述绕某根轴转某个角度；第三类是等效旋转矢量，直接把一段有限转动压成一个矢量再做指数映射。三类方法解决的是同一个问题，差别在奇异性和计算量。

import numpy as np def dcm_from_euler(yaw, pitch, roll): """按 Z-Y-X 顺序合成方向余弦阵：先偏航，再俯仰，最后滚转""" cy, sy = np.cos(yaw), np.sin(yaw) cp, sp = np.cos(pitch), np.sin(pitch) cr, sr = np.cos(roll), np.sin(roll) # 三次基本旋转矩阵，注意右乘表示每次旋转都相对“当前”坐标系 Cz = np.array([[cy, -sy, 0], [sy, cy, 0], [0, 0, 1]]) Cy = np.array([[ cp, 0, sp], [ 0, 1, 0], [-sp, 0, cp]]) Cx = np.array([[1, 0, 0], [0, cr, -sr], [0, sr, cr]]) return Cz @ Cy @ Cx C = dcm_from_euler(np.deg2rad(30), np.deg2rad(5), np.deg2rad(-10)) print(np.allclose(C @ C.T, np.eye(3))) # True，正交性成立 print(round(np.linalg.det(C), 6)) # 1.0，仍是右手系

这段代码的重点不在算出一个矩阵，而在两个检查：一是转置乘自身是否回到单位阵，二是行列式是否保持为 1。参数顺序一旦写反，矩阵照样正交、行列式照样为 1，但含义完全错了——俯仰和滚转互换，姿态解算会稳定地给出错误答案，这种 bug 最难查。工程上更在意的是微分方程：设 $b$ 系相对 $n$ 系的转动角速度为 $\omega_{nb}^b$，则

$$\dot{C}b^n = C_b^n,[\omega{nb}^b\times]$$

其中 $[\cdot\times]$ 是把矢量写成反对称阵。这个方程的物理含义很直白：姿态矩阵的变化率，等于“当前姿态”乘上“当前角速度造成的瞬时旋转”。对矩阵每一列（也就是 $b$ 系基矢量在 $n$ 系中的投影）求导，再用一次哥氏定理，就能得到它。

注意：用欧拉角递推姿态，俯仰角接近 ±90° 时会出现万向锁，两个轴重合、丢掉一个自由度。四元数之所以成为捷联惯导的默认选择，就是为了绕开这个奇异点。

2.2 哥氏定理：把绝对导数拆成“相对 + 牵连”

哥氏定理（也译作科里奥利定理）解决的是一个纯运动学问题：同一个矢量，在静止系里看的变化率，和在旋转系里看的变化率，差在哪里。结论是

$$\left.\frac{d\mathbf{r}}{dt}\right|_i = \left.\frac{d\mathbf{r}}{dt}\right|e + \omega{ie}\times\mathbf{r}$$

左边是惯性系里的绝对导数，右边第一项是地球系里看到的相对导数，第二项是坐标系旋转带来的牵连项。这一项不是修正，是必须付的“过路费”：只要你在旋转坐标系里做微积分，就得补上它。

把位置换成速度再求一次导，就会出现两项新东西：$2\omega_{ie}\times\mathbf{v}e$ 和 $\omega{ie}\times(\omega_{ie}\times\mathbf{r})$。前者是哥氏加速度，系数 2 来自“矢量在转、参考系也在转”的双重效应；后者是向心加速度，方向指向自转轴。复习资料里问“结果中各项含义”，考的正是这三个角色能不能对上号：相对加速度、哥氏加速度、向心加速度。

推导思路上有个容易卡住的地方：哥氏定理对“任意矢量”都成立，位置矢量成立，速度矢量也成立，但两次使用时参考系不能中途换。先在地球系里写位置关系，求导得速度关系，再对这个速度矢量用一次定理，才能得到加速度关系。中间换系，系数就会错，这是手推时最常见的翻车点。

2.3 比力方程与惯导基本方程：加速度计读到的到底是什么

加速度计测的从来不是“加速度”，而是比力，也就是非引力合力除以质量。用 $\mathbf{f}$ 表示比力，则 $\mathbf{f} = \mathbf{a} - \mathbf{g}$。静止放在桌面上，运动加速度为零，加速度计输出的是 $-\mathbf{g}$ 方向的分量，这是很多人第一次做静态标定时困惑的根源：仪表没坏，是你把定义记混了。

比力方程就是把牛顿第二定律搬到导航系里：

$$\dot{\mathbf{V}}^n = \mathbf{f}^n - (2\omega_{ie}^n + \omega_{en}^n)\times\mathbf{V}^n + \mathbf{g}^n$$

各项含义逐一对上：$\mathbf{f}^n$ 是加速度计输出在导航系的投影，代表载体感受到的非引力加速度；$2\omega_{ie}^n\times\mathbf{V}^n$ 是哥氏加速度，因地球自转与载体相对地球运动共同产生；$\omega_{en}^n\times\mathbf{V}^n$ 是向心加速度，因载体沿地球曲面运动、导航系本身跟着旋转产生；$\mathbf{g}^n$ 是重力加速度，已经在里面扣掉了离心效应。

证明思路只有一条主线：在惯性系里写 $\mathbf{a}_i = \mathbf{f} + \mathbf{G}$，用哥氏定理把 $\mathbf{a}_i$ 换成导航系里的量，再把引力 $\mathbf{G}$ 与离心加速度合并成重力 $\mathbf{g}$，整理即得。看起来绕，但每一步都对应一个物理量，不是纯代数变形。

惯导基本方程是比力方程再加上姿态方程和位置方程，构成闭合方程组：

所谓“闭合”，是说陀螺给角速度、加速度计给比力，代入这三组方程就能一路积分出姿态、速度、位置，全程不需要外部信息。这也是惯导最硬核的地方：它是自主的，不依赖任何外部信号。代价同样明显——所有误差都靠自己扛，没有任何外部参考来拉一把，误差只能靠回路设计压住。

3. 地球模型与惯性器件：惯导为什么甘愿用一套“近似”的地球

导航解算要在地球上做，就必须先回答“地球是什么形状”。这个问题听着像地理课，实际决定了整套方程的写法：曲率半径怎么取、纬度怎么定义、重力怎么算，全都挂在这个模型上。

3.1 三种垂线、三种纬度：惯导为什么最终选大地纬度

常见的描述模型有两类。球形模型把地球当成半径约 6371 km 的正球，公式最简，短时间、低精度场合够用；旋转椭球模型用长半轴 $a$、短半轴 $b$ 和扁率 $f=(a-b)/a$ 描述，能反映赤道鼓起、两极压扁的事实。

垂线和纬度是成对出现的。地心垂线是地心到载体的连线，对应地心纬度；椭球法线垂直于椭球面，对应大地纬度；重力垂线沿重力方向，对应天文纬度。三者并不重合，差值虽然只有角分量级，但对惯导来说已经不能忽略。

惯导最终选的是“椭球模型 + 大地纬度 + 重力垂线”这一套。原因很实在：平台的“水平”是由重力定义的，加速度计测的是比力在垂线方向的分量，物理上能对齐的只有重力垂线，不是几何上的法线。选大地纬度是因为椭球法线与重力垂线在高精度下足够接近，同时曲率半径有解析式可用：子午圈半径 $R_M$ 和卯酉圈半径 $R_N$ 都随纬度变化，位置方程里那两个分母就是它们。

这也解释了一个常被问到的细节：为什么位置方程里经度变化率要除以 $\cos\varphi$。经线在高纬度收拢，同样的东向速度对应的经度变化更快，$\cos\varphi$ 就是收拢系数。它同时埋了个雷——$\varphi$ 接近 90° 时分母趋零，指北方位系统在极区没法用，这个雷在后面第 4 章还会再炸一次。

3.2 重力不是引力：离心力那一项躲不掉

重力加速度和引力加速度的关系只有一句：

$$\mathbf{g} = \mathbf{G} - \omega_{ie}\times(\omega_{ie}\times\mathbf{r})$$

引力是万有引力，指向地心；离心加速度由地球自转产生，方向背离自转轴。两者矢量相加才是重力。赤道处离心加速度最大，重力被削得最多；两极处离心加速度为零，重力最大。这就是重力随纬度变化的来源，也是正常重力公式里那个 $\sin^2\varphi$ 项的由来。

对惯导而言，这个区别不是学术细节。加速度计静止时输出的是比力，等于 $-\mathbf{g}$，其中已经包含了离心效应；如果在解算时把 $\mathbf{g}$ 当成纯引力处理，等于凭空多算了一项离心加速度，位置会缓慢漂移。这类错误在静态测试里看不出来，跑动态轨迹才暴露，属于典型的“血泪经验”型 bug。

提示：在比力方程里，$\mathbf{g}^n$ 一律按重力理解，不要拆成引力加离心再分别处理。拆开写容易在符号上打结，尤其是在推导误差方程的时候。

3.3 惯性级器件的门槛：一条二阶方程撑起两种传感器

加速度计的核心是一个摆组件。绕输出轴的转动用二阶方程描述：

$$J\ddot{\theta} + D\dot{\theta} + K\theta = M_c + M_d$$

$J$ 是摆组件转动惯量，$D$ 是阻尼系数，$K$ 是弹性刚度，$M_c$ 是再平衡力矩（由力矩器产生），$M_d$ 是干扰力矩。取零初始条件做拉普拉斯变换，利用 $\mathcal{L}[\ddot{\theta}] = s^2\Theta(s)$、$\mathcal{L}[\dot{\theta}] = s\Theta(s)$，得到

$$\Theta(s) = \frac{M_c(s)+M_d(s)}{Js^2+Ds+K}$$

这就是一个标准二阶环节。引入再平衡力矩之后，闭环把摆维持在零位附近，稳态时 $\theta\approx 0$，力矩器电流与输入加速度成正比——所以惯性级加速度计输出的是电流，不是角度。这一步很关键：它把“测角度”变成了“测电流”，量程和线性度都由力矩器决定。

陀螺这边的逻辑类似，只是对象换成角速度。动力调谐式挠性陀螺靠挠性接头和平衡环，在特定转速下调谐，使弹性恢复力矩与惯性力矩相互抵消，等效刚度趋近于零，转子自转轴就能敏感极其微小的角速度输入。简化后的运动方程同样可以做拉普拉斯变换求传递函数，考试爱考这一步，是因为它把“机械结构”翻译成了“控制环节”。

惯性级器件的门槛，本质上就是这条二阶方程的系数要够稳：

“惯性级”三个字不是精度高那么简单，它要求器件在长时间、宽温区、强振动下，二阶方程的三个系数都别乱动。系数一动，传递函数就变，后面所有积分结果都会跟着偏。

4. 舒勒回路：把振荡周期调到 84.4 分钟意味着什么

前面所有方程都是“开环”的：给什么积分什么，误差也一起积分。真正让惯导能连续工作的，是修正回路。而修正回路里最核心的一条设计约束，就是舒勒调谐。

4.1 舒勒摆与舒勒回路：一个造不出来的摆，一个造得出来的回路

舒勒摆是一个思想实验：如果单摆的摆长等于地球半径，周期就是 $T = 2\pi\sqrt{R/g}\approx 84.4$ 分钟。这个摆有个奇特性质——当载体沿地球表面运动时，摆的指示方向始终与当地垂线重合，载体的加速度不会让它偏转。原因是载体前进造成的垂线变化，恰好被摆自身因加速度产生的偏转抵消掉了。

物理上造不出来。摆长 6371 km、还要无阻尼无摩擦，工程上不可能。但它的数学性质可以被“仿造”出来：用加速度计测比力、积分得速度、再乘 $g/R$ 反馈给陀螺力矩器，让平台跟着当地水平面转，就构成了一个等效的舒勒回路。

推导只要两行。设平台绕水平轴有倾角 $\alpha$，加速度计测到的比力里包含 $g\alpha$ 这一项（倾斜导致重力在敏感轴上的投影）；修正回路让平台以正比于该信号的角速度转动，系数取 $1/R$。把平台转动与地球曲率变化合起来写，得到

$$\ddot{\alpha} + \frac{g}{R}\alpha = 0$$

这是一个无阻尼二阶振荡，角频率 $\omega_s=\sqrt{g/R}\approx 1.24\times10^{-3}$ rad/s，周期正是 84.4 分钟。只要回路增益严格等于 $g/R$，载体加速度就进不到误差方程里。

两者的相同点：都满足调谐条件，都有 84.4 分钟周期，都对载体加速度不敏感，都是无阻尼等幅振荡。不同点：舒勒摆是单自由度的机械装置，靠重力恢复力矩工作，物理上不可实现；舒勒回路是双通道的控制回路，靠修正力矩工作，误差角是“算出来再补回去”的。一个是被动物理，一个是主动控制——这是复习资料里最爱考的那道对比题。

import math R = 6378137.0 # 地球长半轴，单位米 g = 9.80665 # 平均重力加速度，单位 m/s^2 Omega = 7.292115e-5 # 地球自转角速度，单位 rad/s phi = math.radians(30) # 当地纬度 omega_s = math.sqrt(g / R) # 舒勒角频率 T_schuler = 2 * math.pi / omega_s / 60 # 舒勒周期，换算成分钟 T_foucault = 2 * math.pi / (Omega * math.sin(phi)) / 3600 # 傅科周期，小时 T_earth = 2 * math.pi / Omega / 3600 # 地球自转周期，小时 print(f"舒勒角频率 {omega_s:.3e} rad/s") print(f"舒勒周期 {T_schuler:.1f} min") print(f"傅科周期 {T_foucault:.1f} h") print(f"地球自转周期 {T_earth:.1f} h")

算出来的三个周期，对应误差传播里的三种振荡：舒勒振荡 84.4 分钟、傅科振荡随纬度变化（赤道处趋于无穷，两极处等于 24 小时）、地球自转周期振荡 24 小时。参数里最敏感的是 $g/R$，它的精度直接决定调谐是否准确；实际系统里 $g$ 用当地重力公式算，$R$ 用当地曲率半径，不能用平均值糊弄，否则高纬度会积累明显偏差。

4.2 平台的三种工作状态与三条基本回路

惯导平台按用途有三种工作状态。几何稳定状态是把平台三轴稳定在惯性空间，陀螺不进动，平台相当于一个惯性基准，多用于需要空间稳定参考的场合。空间积分状态是让方位轴按给定角速度绕天向轴转动，比如跟踪地球自转分量，使平台相对地球保持某种固定关系。锁定状态（也叫方位跟踪）是外框跟随载体方位转动、内框保持水平，便于直接输出航向。

三种状态对应三组基本回路。稳定回路是内环，由陀螺敏感平台偏角、信号放大后驱动力矩马达，把平台拉回原位，带宽最高，决定平台的抗干扰能力。修正回路是外环，把导航计算机算出的水平修正量和方位修正量加到陀螺力矩器上，让平台跟踪导航坐标系，舒勒回路就活在这一层。锁定回路负责框架角的跟随与传递，保证内外框不打架。

三条回路的关系是嵌套的：稳定回路必须比修正回路快一个量级，否则修正信号会被内环吃掉，平台跟不上指令；修正回路的增益又必须严格满足 $g/R$，否则舒勒调谐被破坏。这两个约束一快一准，是平台设计的核心矛盾。

4.3 指北与游移方位：全球导航的两种取舍

指北方位系统让平台始终跟踪当地地理系，东-北-天三轴固定。优点是航向直接可读，误差方程清晰，位置解算简单。缺点是方位轴要持续以 $\omega_{ie}\sin\varphi$ 的角速度跟踪，高纬度时 $\cos\varphi$ 趋零，经度解算的 $1/\cos\varphi$ 项发散，全球导航做不到。

游移方位系统换了个思路：方位轴不跟踪地理北，而是相对惯性空间保持某个姿态，或者按固定规律游移，方位角本身作为状态量解算出来。这样就没有 $1/\cos\varphi$ 的奇点，全球都能跑。代价是多了一个待估的方位角，误差耦合更复杂，航向不能直接读，得换算。

误差传播这块，指北系统的误差分三类。振荡性误差包括舒勒振荡、傅科振荡和地球自转周期振荡，它们不随时间增长，只是来回晃。积累性误差由陀螺常值漂移引起，尤其是东向陀螺漂移会让经度误差随时间线性增长。随机误差由器件噪声积分而来，走的是随机游走的路子。三类里对精度影响最大的是积累性误差——振荡还能靠滤波压一压，线性增长没救，只能靠器件本身和外部校正。

5. 避坑与排查：学惯导最容易翻车的五个地方

概念看着都懂，一动笔就错，是这门课的常态。下面五条是从推导和调试里反复踩出来的，每条都按“现象—原因—解决”写，对上号了能省不少时间。

5.1 器件与方程层面的三个坑

坑一：把比力当成运动加速度。现象是静态标定时加速度计输出不为零，怀疑零偏超标；动态跑轨迹时速度解算总差一个常值。原因是比力的定义是 $\mathbf{f}=\mathbf{a}-\mathbf{g}$，静止时 $\mathbf{a}=0$，输出就是 $-\mathbf{g}$，本来就该非零。解决办法是先明确符号约定，静态校零时把当地重力分量算出来扣掉，再看残差；同时检查比力方程里 $\mathbf{g}^n$ 的符号有没有和器件输出对上，这一项写反，位置会一路往一个方向跑。

坑二：以为方向余弦阵的转置永远等于逆。现象是数值积分一段时间后 $CC^T$ 明显偏离单位阵，姿态角开始漂。原因是理论上正交，离散积分下不正交——每一步的截断误差都在破坏约束，跑几千步就积累出来了。解决办法是定期做正交化归一化，或者干脆换四元数，每步归一化四个参数比校正九个元素便宜得多。捷联系统里这一步是标配，不是可选优化。

坑三：小角度近似到处用。现象是小机动时一切正常，大角度转弯后姿态误差突然变大，甚至发散。原因是 $\sin\theta\approx\theta$、$\cos\theta\approx1$ 只在几度范围内成立，误差方程里用它做线性化没问题，姿态更新里用就是另一回事。解决办法是分清场合：推导误差方程、做卡尔曼滤波时用小角度线性化；姿态解算必须用完整旋转，四元数或等效旋转矢量都行，别图省事。

5.2 回路与对准层面的两个坑

坑四：对准结束后不切内反馈回路。现象是初始对准时收敛得挺快，一进入导航状态就出现周期不对的振荡，或者缓慢发散。原因是对准期间为了加快收敛，人为加了内反馈，把舒勒回路的无阻尼等幅振荡改成了提高频率的减幅振荡；这个附加反馈破坏了 $g/R$ 的调谐条件，进导航必须切掉。解决办法是在对准结束、转入导航之前明确切除内反馈，并确认回路增益回到舒勒条件。复习资料里问“对准结束后应怎样处理这些内反馈回路、为什么”，问的就是这一刀。

坑五：高纬度还在用指北方位。现象是纬度超过一定值后经度解算跳变，误差迅速放大。原因是位置方程里 $1/\cos\varphi$ 在极点附近奇异，分母趋零，任何小的速度误差都会被放大成巨大的经度误差。解决办法是换游移方位方案，把方位角作为状态量而不是跟踪量，从根上避开奇点。这个坑在纸面上不明显，一跑高纬度轨迹立刻现形。

再补一条不算坑但常被误解的：舒勒振荡消不掉。有人以为调参数能把 84.4 分钟的振荡压下去，实际上它是无阻尼系统的固有特性，只能不激励，不能消除。初始条件对齐、避免突变加速度，才是正路。

6. 从对准到捷联：物理平台与数学平台差在哪

6.1 对准的本质是把等幅振荡改成衰减振荡

初始对准用的两个自然参考量，一个是重力矢量，一个是地球自转角速度。重力定水平，自转角速度定方位，前者靠加速度计，后者靠陀螺。粗对准直接用这两个矢量做双矢量定姿，解析算出初始姿态阵；精对准在此基础上估计失准角，把残差压下去。

对准过程里绕不开罗经项。地球自转的水平分量会让方位误差与北向误差耦合，形成绕天向轴的地球周期振荡，这就是罗盘效应。从罗经项里提取方位误差有两条路：一条是观测罗经振荡的相位和幅值，另一条是转动方位（双位置法）取两次测量求差。方位对准精度最终受东向陀螺漂移限制，因为漂移在罗经项里和方位误差同阶，分不开。

关键结论在这里：平台式和捷联式的对准本质完全一样，都是把舒勒等幅振荡回路改成提高振荡频率的减幅振荡回路。差别只在实现——平台式有实际的对准回路，修正信息和其他误差项一起加到陀螺力矩器上；捷联式没有物理回路，只有对准计算程序，全靠导航计算机跑。

6.2 平台

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